冲刺P3高分！2024年爱德思夏季大考真题全解析（一）在上半部分，我们已经逐一剖析了2024年爱德思P3夏季大考的前5道题目，相信大家对P3的考查风格和难度有了一定的把握。现在，我们马不停蹄，进入下半场的学习！这部分通常包含了一些分值更高、综合性更强的压轴题型，也更能体现P3的挑战性。希望大家继续保持专注，跟紧我们的节奏，一起攻克第6题到第9题的难关，拿下P3高分！
Q6
老师点评：这道题是一道非常经典的P3函数综合题，主要考察了复合函数求值、反函数的求解以及解复合函数方程。
(a)小问 - 复合函数求值gf(2)：对于复合函数求值，比如gf(x)，大家一定要记住运算顺序：从内到外。先计算里面的函数f(2) 的值。然后把f(2) 得到的结果，再代入到外面的函数 g(x) 中，计算 g(f(2))。计算时细心一点，这部分通常是送分点。
(b)小问 - 求反函数 f⁻¹(x)：求反函数是我们P3必须掌握的核心技能。常规步骤如下：设y = f(x)： 把原函数写成 y = ...x... 的形式，例如本题是 y = 6 - 21/(2x + 3)。
反解x： 通过代数变形，把这个式子整理成 x = ...y... 的形式，也就是让 x 成为式子的主语。这一步考验大家的代数基本功。交换x 和 y： 把上一步得到的 x = ...y... 中的 x 和 y 互换位置，得到 y = ...x...。
写出反函数：将新得到的y = ...x... 的 y 替换为 f⁻¹(x)，即 f⁻¹(x) = ...x...。一个非常关键的点是反函数的定义域：原函数f(x) 的值域 (Range) 就是其反函数 f⁻¹(x) 的定义域 (Domain)。
所以，在求完反函数的表达式后，一定要记得确定并写出它的定义域。(c) 小问- 解复合函数方程 gg(x) = 126：解这类复合函数方程，思路是：构建复合函数表达式：先写出gg(x) 的具体表达式。gg(x) 就是把 g(x) 的表达式 x² + 5 整体代入 g(x) 中的 x，得到 (x² + 5)² + 5。
建立并解方程：令(x² + 5)² + 5 = 126。这个方程看起来复杂，但其实解起来并不难。整理后得到(x² + 5)² = 121。开平方时注意有正负两种情况：x²+ 5 = 11 或 x² + 5 = -11。对于x² + 5 = 11，得到 x² = 6，解出 x = ±√6。对于x² + 5 = -11，得到 x² = -16，这个在实数范围内无解。
本题的这个复合函数方程，本质上化简下来就是一个关于x² 的一元二次方程，或者说是一个四次方程的特殊形式，没有涉及到特别复杂的三角函数或指对数运算，相对还是比较直接的。总的来说，这道题全面考察了函数的基本操作，只要掌握了复合函数的运算规则、反函数的求解步骤（特别是定义域！），以及解基本代数方程的技巧，拿分还是比较稳的。
Q7
老师点评：这道题是在我们P2学习的stationary point（驻点）知识基础之上，进一步融入了P3关于函数分析与变换的核心考点，综合性比较强。
(a)小问 - 证明导数形式：这部分主要考察大家对复杂函数求导的掌握，特别是乘法法则(Product Rule) 和链式法则 (Chain Rule) 的熟练运用。将 f(x) 看成两部分相乘，分别求导后再用乘法法则组合起来。后续的代数化简，包括通分、合并、提取公因式，也是拿到满分的关键步骤。
(b)小问 - 找出P点 (minimum turning point) 坐标：求驻点，我们知道是令f'(x) = 0。解这个方程可能会得到多个 x 值。这时候，结合题目给出的图像来判断就非常重要了。
从图像上可以清晰地看到函数有两个驻点，而题目要求的P点是一个 minimum turning point（极小值点），并且其 x 坐标为负值。根据这个信息，我们就能从解出的 x 值中选出正确的那一个，再代回原函数 f(x) 计算对应的 y 坐标。
(c)小问- 求 g(x) = -4f(x) 的值域：这问考察的是函数变换对值域的影响。首先，我们要确定原函数f(x) 在其定义域内的值域。结合(b)问找到的最小值点，以及函数在定义域边界和趋向无穷时的行为，可以得到 f(x) 的值域。
然后，再看g(x) = -4f(x) 这个变换。它相当于对 f(x) 的值域先乘以4，再乘以-1。特别注意，当乘以一个负数时，值域的上下界会发生“翻转”，不等号的方向也要改变。
(d)小问 - 点Q在变换下的映射：这一问有一个常见的陷阱需要大家特别注意！题目说点Q(1/2, 3/2) 在曲线 C (即 y=f(x)) 上。
然后曲线 C 经过一系列变换得到新曲线 y' = 40f(x' - 3/2) - 8。问原来的点Q会映射到新曲线上的哪个点。很多同学可能会误以为，新点的横坐标还是1/2，然后去代入新的函数表达式，这是完全错误的！
正确的理解是：点Q的坐标(x_Q, y_Q) 满足 y_Q = f(x_Q)。 一个需要警惕的地方是，题目直接给的 Q(1/2, 3/2)，但如果我们自己算 f(1/2)，会发现 f(1/2) = 3/8，而不是 3/2。
根据往年经验和Mark Scheme，通常我们应该以函数定义为准，即原始点应为 (1/2, 3/8)。(这里我会按Mark Scheme的思路，用计算出的f(1/2)值)函数图像的变换规则是y -> 40y - 8，x -> x + 3/2 (因为函数内部是 x - 3/2)。
所以，原点(x_old, y_old) 变换后的新点 (x_new, y_new) 满足：x_new = x_old + 3/2y_new = 40 * y_old - 8将我们计算出的Q点实际坐标(1/2, 3/8) 代入上述变换规则，就能得到新点的坐标。
千万不要混淆了：变换的是整个函数图像，原来的点Q也会跟着这个规则移动到新的位置，它的横纵坐标都会发生改变，而不是保持横坐标不变。
总的来说，这道题从求导到驻点分析，再到值域和点变换，考察点比较全面。只要大家基本功扎实，理解函数变换的本质，并注意题目中的细节和潜在“陷阱”，就能顺利解答。
Q8
老师点评：这道题是一个非常典型的P3综合大题，它巧妙地将指数模型、微积分（求导找极值）以及数值方法（迭代）结合在了一起，全面考察大家的综合应用能力。题目背景理解：首先，拿到这种应用题，我们要先搞清楚模型描述的是什么。
这里是研究马的心率(H) 随时间 (t) 变化的规律。
(a)小问 - 初始心率 (initial heart rate)：当题目中出现关键词“initial”（初始的），它通常意味着自变量为零的时刻。在这个模型里，就是 t = 0 的时候，代表时间刚开始。
我们直接将 t = 0 代入心率公式 H 中计算即可。记住 e^0 = 1，这部分基本是送分点。(b)小问 - 长期心率趋势 (in the long term)：与“initial” 相对，“in the long term”（从长远来看）意味着时间 t 趋向于正无穷大 (t → +∞)。
我们需要分析当 t 非常大时，模型中各项的行为。通常，像 e^(-kt) (其中 k > 0) 这样的项，当 t → +∞ 时，e^(-kt) → 0，也就是说这一项会趋近于零。把这个考虑到模型里，就能得到心率的长期稳定值 L。
（c） 小问- 心率最大值点 T：求函数的最大值或最小值点，我们的标准方法是求导数，并令导数等于零，即dH/dt = 0。求导：对心率函数H 关于 t 求导。
这里涉及到指数函数的求导，并且通常伴随着链式法则 (Chain Rule) 的应用。比如 d/dt (e^(at)) = a * e^(at)，很多同学容易在求导时漏掉指数上的常数因子 a。
解方程：令dH/dt = 0 后，我们会得到一个关于 t 的指数方程。解这类方程，常用的技巧是两边同时取自然对数 (ln)，将其转化为对数方程来解，利用对数的性质（如 ln(e^x) = x, ln(A/B) = lnA - lnB 等）会使求解过程更简单。题目明确说了“不允许完全依赖计算器技术”，所以详细的求导和解方程步骤是必须展示的。
(d)小问 - 证明 M 是某方程的解 (Show that…)：这类“Show that” 的问题，本质上是考察我们的代数变形和逻辑推理能力。我们需要从题目给定的条件（当 t = M 时，H = 37）出发，通过一步步严谨的代数运算，将初始的等式逐渐变换成目标方程的形式。关键在于观察目标方程的结构，有目的地进行移项、合并、提取公因式、两边取对数等操作。
(e)小问 - 迭代法求解：这部分是常规的数值方法（迭代法）考查。
计算t₂： 题目会给出迭代公式 t_(n+1) = ...t_n... 和初始值 t₁。我们只需将 t₁ 的值代入迭代公式的右边，计算出 t₂。记得把完整的迭代公式和代入的 t₁ 值写清楚。
求M (迭代收敛值)： M 是当迭代次数足够多时，t_n 序列收敛到的那个稳定值。我们需要不断地将前一次迭代得到的结果代入公式，计算出下一个值，直到连续两次迭代的结果在题目要求的精度下不再变化。
一个重要的计算技巧：在迭代的中间过程中，我建议大家尽量多保留几位小数，比如保留七八位有效数字。因为过早地四舍五入会累积误差，影响最终结果的准确性。只在最后一步输出答案时，再根据题目要求的有效数字或小数位数进行四舍五入。
总的来说，这道题分值高，考点多，但只要我们把每个部分涉及的知识点掌握扎实，比如指数函数的性质、求导法则、解指数/对数方程的技巧、代数变形能力以及迭代法的步骤，就能分步攻克，拿到理想的分数。
Q9
老师点评：这道题作为我们这套P3卷子的压轴大题，分值高（14分），考点也相当综合，对大家的各项能力都是一个全面的检验。我们一步步来看：
(a)小问 - 求导 f'(x)：这部分相对直接，主要考察的是商法则(Quotient Rule) 的应用。对于 f(x) = u(x) / v(x) 这样的分式函数，其导数 f'(x) = [v(x)u'(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]²。
大家只要牢记商法则的公式，并细心计算 u'(x) 和 v'(x)，然后代入并化简，通常问题不大。注意展开和合并同类项时的准确性。
(b)小问 - 求法线方程：这是典型的考察切线与法线关系的题目。核心关系：切线和法线是互相垂直的，所以它们的斜率相乘等于-1 (即 m_切 * m_法 = -1 或 m_法 = -1 / m_切)。
求切线斜率：我们需要利用(a) 问求得的导数 f'(x)。将点P的x坐标代入 f'(x)，就能得到曲线在P点处的切线斜率。
求法线斜率：根据上面的核心关系，由切线斜率计算出法线斜率。
求法线方程：我们已经知道了法线的斜率，并且题目告知法线过点P。
利用点斜式方程 y - y₁ = m(x - x₁)，就可以很容易地写出法线的方程，并整理成题目要求的形式。
(c) 小问- 函数形式转换 (代数长除法)：这问要求将f(x)（一个分子为二次，分母为一次的假分式）改写成 Ax + B + D/(2x + 1) 的形式。核心方法是代数长除法(Algebraic Long Division)。我们将分子 (6x² + 4x - 2) 除以分母 (2x + 1)。
商的部分应该是一个一次多项式(Ax + B)。余数的部分(D) 会作为新的分式的分子，分母不变。通过长除法，我们可以直接得到A、B 和 D 的值。我个人更推荐大家直接用长除法来做这道题。
虽然理论上也可以用系数比较法（即假设f(x) = Ax + B + D/(2x + 1)，然后通分，再比较分子各项系数），但对于这个稍微复杂一点的式子，系数比较法在展开和匹配系数时，涉及到较多的项和正负号，更容易出错。
长除法步骤清晰，反而更稳妥。(d)小问 - 定积分求阴影面积：这是压轴题的“重头戏”，考察定积分求面积，并且涉及到组合图形面积的分割与计算。
面积分割策略：观察阴影区域R的形状，它通常不是一个能用单一积分直接求出的简单图形。一个常见的处理方法是，过关键点（比如这里的P点）作垂直于x轴的辅助线，将不规则的区域R分割成几个我们更容易处理的子区域。比如这里，可以分割成曲线 C 下方的一个曲边梯形面积，和法线 l 下方的一个直角三角形面积。
确定积分上下限：对于每个子区域，我们需要准确找到它们在x轴上的积分区间（上下限）。这可能涉及到求解曲线与x轴的交点、直线与x轴的交点，以及题目给定的点P的x坐标。
进行定积分计算：对于曲线C 下方的面积，我们需要对 © 问中得到的 f(x) 的新形式 Ax + B + D/(2x + 1) 进行积分。特别注意，积分 ∫ D/(2x + 1) dx 时，会涉及到链式法则的逆运算，即积分结果是 (D/2)ln|2x+1|，不要漏掉那个 1/2。
对于直线（如法线l）下方的面积，如果它形成的是规则图形（如三角形或梯形），可以直接用几何公式计算面积，这样更简便。如果用积分，也是对直线方程积分。
展示详细过程：题目明确要求“algebraic integration” 和 “exact area”，并且不能完全依赖计算器。
这意味着我们必须详细展示积分的每一步，包括不定积分的求解、代入上下限的过程，以及最终结果的精确形式（如题目要求的 P + Qln3）。不能直接给一个计算器算出来的数值结果。总而言之，这道压轴题虽然综合性强，步骤多，但每一个小问考察的都是我们P3的核心知识点。
只要大家基础扎实，思路清晰，计算仔细，并且能够把不同模块的知识灵活地串联起来，就一定能够成功解答。至此我们已经完成了对2024年爱德思P3夏季大考全部九道题目的精讲。
通过对整套试卷的分析，大家可以看到，P3的题目往往综合性强，计算量和思维量都比较大，但万变不离其宗，核心还是考察大家对基本概念、公式定理的理解和灵活运用能力。
从三角函数到微分积分，从指数对数到数值方法，每一块知识点都需要我们扎实掌握。希望通过这次的真题解析，同学们不仅掌握了具体题目的解法，更能从中总结出P3的常考重点和备考策略。平时一定要多加练习，注重理解，遇到难题不要怕，拆解分析，逐个击破。
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最后，预祝各位同学在接下来的P3考试中沉着应战，发挥出自己的最佳水平，取得优异成绩！加油！
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